Представьте себя в роли авиадиспетчера аэропорта Ньюарк близ Нью-Йорка. Ваша главная задача – обеспечить безопасное перемещение самолетов между взлетно-посадочными полосами и стоянками. На первый взгляд может показаться, что проблема требует лишь внимательности, однако математики предлагают элегантное решение , которое способно произвести революцию в теории графов.
Графы – это универсальный математический инструмент, позволяющий описывать сложные системы связей и отношений между объектами. В простейшем виде граф состоит из точек (их математики называют вершинами) и линий между ними (ребер). Такая, на первый взгляд, незамысловатая структура помогает решать широчайший спектр практических задач: от проектирования транспортных маршрутов и компьютерных сетей до анализа социальных взаимодействий и моделирования химических реакций. При этом реальные графы могут включать миллионы вершин и миллиарды ребер, образуя невероятно сложные паутины взаимосвязей. Одной из фундаментальных задач в теории графов выступает их правильная раскраска – присвоение цветов ребрам или вершинам по определенным правилам. Такой подход позволяет, например, составить расписание экзаменов в университете без накладок, распределить частоты радиостанций без помех или, как раз таки, организовать безопасное движение самолетов.
Для начала нужно начертить абстрактную схему аэропорта. На ней каждая взлетно-посадочная полоса, рулежная дорожка и место стоянки обозначаются точкой. Затем для каждого воздушного судна прочерчивается линия, связывающая нужные пункты – например, если борт следует от полосы 4L по рулежной дорожке K к терминалу C80, маршрут отмечается линией через соответствующие три точки.
Ключевой момент в этой системе – предотвращение столкновений. К любой точке на схеме, которую специалисты называют графом, сходится множество путей разных самолетов. Чтобы гарантировать безопасность движения, каждую линию окрашивают в определенный цвет. При этом действует важное правило: все маршруты, пересекающиеся в одной точке, должны различаться по цвету. Оттенки в данном случае символизируют время – разная окраска не позволяет бортам оказаться в одном месте одновременно.
Для регионального аэропорта такую схему можно расписать вручную. Однако ученые часто работают с графами, содержащими миллиарды связей. Именно поэтому они создают специальные алгоритмы автоматической раскраски. По словам Сепера Ассади из Университета Ватерлоо, прогресс в этой области практически остановился четыре десятилетия назад.
Ситуация кардинально изменилась в 2024 году, когда две независимые группы исследователей представили методы , работающие значительно быстрее прежних разработок. А на симпозиуме по теории вычислений в июне 2025 года прозвучит доклад о новом прорывном алгоритме, который вплотную приблизился к теоретическому пределу скорости. Его уникальность заключается в том, что время работы зависит только от количества линий в графе, но не от числа точек. В случае с аэропортом это означает, что размер территории больше не влияет на сложность расчетов – значение имеет лишь число возможных маршрутов.
“Задача практически полностью решена”, – отмечает Антон Бернштейн из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. По его словам, такого результата никто не ожидал увидеть даже пару лет назад.
История этой математической головоломки берет начало в 1964 году. Тогда математик Вадим Визинг доказал поразительный факт: чтобы определить минимальное количество цветов для раскраски графа, достаточно найти точку с максимальным числом соединений и добавить единицу. Однако сам процесс раскраски оказался намного сложнее теоретических выкладок.
Алгоритм Визинга начинал с попытки окрасить последнее оставшееся ребро в уже частично раскрашенном графе. Эта операция могла потребовать изменения цветов у соседних ребер, что в свою очередь затрагивало их соседей, создавая цепную реакцию. Математик подсчитал, что время обработки одного ребра может быть пропорционально общему числу вершин графа (обозначаемому как n). При наличии m ребер общее время работы алгоритма оказывалось пропорциональным произведению этих величин.
Данный показатель оставался непревзойденным около двадцати лет. Исследования 1980-х годов позволили снизить время до величины, пропорциональной произведению числа ребер на квадратный корень из числа вершин. Однако методы, приведшие к этому улучшению, оказались тупиковыми – никто не смог развить их дальше.
В мае 2024 года Сепер Ассади разместил на научном портале arxiv.org статью с описанием метода, позволяющего раскрашивать граф за время, пропорциональное квадрату числа вершин. Для структур, где точек существенно меньше, чем соединяющих их линий, это стало значительным прорывом.
Практически одновременно другая научная группа независимо представила результат, сокративший время раскраски до произведения числа ребер на кубический корень из числа вершин. Исследователи добились успеха, найдя более эффективный способ окрашивания отдельных элементов графа. В последующей работе команда усовершенствовала метод, уменьшив показатель степени до четверти.
Летом коллективы решили объединить усилия, пригласив к сотрудничеству Сохейла Бехнежада из Северо-Восточного университета. Вместо постепенных улучшений они замахнулись на фундаментальный прорыв.
Да, здесь действительно нужно яснее объяснить суть проблемы и различия между подходами. Предлагаю переработать эти абзацы так:
Исследователи поставили амбициозную цель – достичь теоретически возможного минимума времени для раскраски графа. Этот минимум называют линейным временем: оно пропорционально количеству ребер в графе. Логика проста: чтобы раскрасить структуру, необходимо хотя бы один раз взглянуть на каждое ребро, и этот процесс нельзя ускорить в принципе – как нельзя прочитать книгу быстрее, чем пролистать все её страницы.
Мартин Коста, аспирант Университета Уорика и соавтор нескольких публикаций по раскраске графов, объяснил необходимость радикально нового подхода. “Существующие алгоритмы позволяли постепенно снижать время вычислений, но принципиально не могли приблизиться к линейному времени работы. Мы словно пытались взобраться на гору по слишком пологой тропе – она вела вверх, но никогда не привела бы к вершине”, – поясняет он.
Изучая все предшествующие работы, от недавних статей 2024 года до классических трудов Визинга, математики выявили ключевую проблему прежних методов. Каждый алгоритм пытался оптимизировать процесс раскраски последнего оставшегося ребра в почти готовом графе. “Представьте, что вы собираете огромный пазл, и вместо того, чтобы искать эффективный способ работы со всеми фрагментами сразу, пытаетесь ускорить установку только последнего кусочка, – образно описывает ситуацию Ассади. – Мы решили действовать иначе”. Вместо точечной оптимизации команда разработала метод, позволяющий одновременно определять цвета для множества ребер.
Решение пришло из неожиданной области – ремонта помещений. Когда маляры готовятся красить стены, они сначала наносят грунтовку – специальный состав, который выравнивает поверхность и облегчает дальнейшую работу. Математики применили схожий принцип к графу: прежде чем приступать к окончательной раскраске, они подготавливали структуру особым образом. Алгоритм действовал как умный маляр – с помощью серии случайных проб он определял, какие участки графа можно раскрасить сразу, а какие лучше временно пропустить. Такой избирательный подход позволял избежать сложных конфликтов между цветами. После предварительной обработки оставшиеся неокрашенные части графа образовывали простую структуру, с которой можно было работать параллельно, словно несколько маляров одновременно красят разные комнаты, не мешая друг другу.
Роберт Тарьян, обладатель премии Тьюринга из Принстонского университета, называет результат удивительным прорывом. По его мнению, идея предварительной подготовки графа полностью изменила взгляд на проблему. “Эта единственная новая концепция перевернула все с ног на голову”, – отмечает ученый.
Хотя теоретики празднуют успех, вопрос практического применения остается открытым. Бехнежад отмечает, что при реальном использовании алгоритмов важны константы, обычно игнорируемые в теории. Время работы нового метода пропорционально произведению числа ребер на логарифм от этого числа, умноженному на некоторый коэффициент. “В нашем алгоритме этот множитель оказался очень небольшим, – подчеркивает исследователь. – Это хороший признак возможной практической ценности метода”.
Тем временем группа размышляет над дальнейшими улучшениями – хотят создать детерминированный алгоритм, не зависящий от случайных величин. Кроме того, они надеются избавиться от логарифмического множителя в формуле, чтобы достичь абсолютного теоретического минимума. Насколько успешными окажутся их изыскания и удастся ли внедрить алгоритм на практике – покажет время.